2025 年计院转专业笔试（回忆版）

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2025 年 · 来源：回忆整理。高数部分由 2025 计院转专业笔试个人回忆整理；程序设计部分具体题目见 2025 机试真题。

一、高等数学

1. 求极限

(1)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{\tan x}}{x-\sin x}$$

(2)

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$$

2. 证明题

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=f(1)$。证明：对任意正整数 $n$，存在 $\xi \in (0,1)$，使得

$$f(\xi )=f\left(\xi +\frac{1}{n}\right).$$

注：南开大学数学分析课本习题 3 第 7 题与本题相同。 当时考的时候这道题其实是错题，漏了连续的条件，跟老师反馈过了，也不知道最后有没有给分。

3. 星形线

证明星形线

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}$$

的切线被坐标轴所截得的长度为定值。

4. 求积分

(1)

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}$$

(2)

$${\int }_0^1\frac{x^3-x^2}{\ln x}\mathrm{d}x$$

5. 双纽线

双纽线的方程为

$$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2).$$

求其极坐标方程，并求该曲线围成的面积。