2026 年软件工程学院转专业笔试难题（回忆版）

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2026 年 · 来源：考生回忆整理。本页仅整理高等数学解答题中的三道难题，不是官方试卷原文，也不代表完整试卷。

解答题

1. 中值定理证明题

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且导数不为 $0$。

证明：存在 $\xi ,\eta \in (a,b)$，使得

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{e^b-e^a}{b-a}{e}^{-\eta }.$$

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2. 积分中值定理与极限

令

$$I(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t.$$

由积分中值定理，存在 $\theta (x)\in (0,1)$，使得

$${\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t=x{e}^{\theta (x)x^2}.$$

求极限

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\theta (x).$$

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3. 积分函数方程

设 $x,t\in (0,+\infty )$，且

$${\int }_0^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_0^{t}f(u)\mathrm{d}u.$$

已知

$$f(1)=\frac{5}{2},$$

求 $f(x)$ 的表达式。