2023 年计院转专业笔试（回忆版）

高等数学

第一题

证明：数列$(1+\frac{1}{n}{)}^n$有界。

第二题

证明：方程 $y_0=x-ϵ\sin x$（其中 $0<ϵ<1$）对于任意 $y_0$ 都有唯一解。

第三题

设 $y=f(x)$ 及 $y=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 证明：

${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)}^2⩽{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x$

提示： 将不等式 ${\int }_a^b[f(x)+tg(x){]}^2\mathrm{d}x⩾0$ 左端的被积函数展开为参数 $t$ 的二次三项式。

第四题

1. 求一点处的全微分。
2. 求一个函数的梯度。
3. 解微分方程：$y^{\prime }-2y=x$.
4. 求$e^{-\frac{1}{x^2}}$的二阶导。
5. 设 $I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2{)}^n}dx$（其中 $a>0,n$ 为正整数），证明其递推公式为：

$I_n=\frac{1}{2a^2(n-1)}\left[\frac{x}{(x^2+a^2{)}^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right](n>1)$